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从两道考试题看几何教学

来源:黑龙江省鸡西实验中学校园网 发表日期: 2015-11-16 上午 09:41:21

                                                       从两道考试题看几何教学
    
                                                                                  刘显秋
          不久前我校进行了一次中考模拟考试,其中两道试题的答题质量很差,相当于平均分减少了6分,引起了笔者的重视,通过研究这两道试题的解答思路,剖析一下我们几何教学中存在的问题,以利于今后改进教学策略。
    先来看第一题:
    已知:在四边形ABCD中,∠DAB=∠CBA,∠ADC和∠BCD的平分线交于O,
    当AB∥CD时(如图1),易证:OA=OB.
    当AB与CD不平行(图2、图3)时,其他条件不变,线段OA、OB之间有怎样的数量关系?,写出你的猜想,并对图2的猜想给予证明。
               

    分析:图1的结论显而易见,四边形ABCD是等腰梯形,是轴对称图形,△ODC是等腰三角形,易证△ADO≌△BCO,进而得到OA=OB。
    图2、图3中,AB与CD不再平行,△ODC不再是等腰三角形,所以图1的分析思路不再适用,必须探索另一具有一般规律的思路。
    此时尽量不要瞎闯,浪费宝贵的时间(如果实在没有思路,不妨试一试,可能运气好撞上),应该对比图1和图2,什么条件不变,什么特征保持稳定,到自己的记忆库中搜索相关的定理、经典图形、典型规律。此题中保持不变的条件有两条,一是两底角相等,它是等腰三角形的一部分;二是O是两条角平分线的交点,那么它也是在第三条角平分线的交点。两点结合,得到解题思路:
    第一步,延长AD、BC交于E,△ABE是等腰三角形;
    第二步,过O分别向AD、DC、CB作垂线,易知点O在等腰△ABE的顶角平分线上,三线合一,OE是AB的垂直平分线,OA=OB得证
    

    

                    
    在三个图形的变换中,轴对称仍然保持,不过不是在四边形中,而是在等腰三角形中。
    此题考查了等腰三角形的性质与判定,角平分线的性质与判定,针对性强。虽然不复杂,但从学生答卷质量上看很不如人意,得分者寥寥。
    学生反映在考场中就是想不出来该向哪作辅助线,头脑一片混乱,不知道分析条件,到哪里寻找解题思路。说明的问题有以下几点:
    一、学生对图形的敏感度低,不能产生足够的联想,机械记忆,缺少大脑加工和提炼,不能抓住图形的主要特征,识别出最典型的信息,而采取最佳的对策。
    二、学生独立探索的意识很差,对教师过度依赖,只等记现成的东西,不积极思考,遇到不熟悉的图形就束手无策,误打误撞,完全凭运气。或者干脆放弃,在潜意识中顽固地认为自己不能做,不能会,严重缺乏应有的自信,试卷中大量的空白卷就说明了这个问题。其实不论多么复杂的问题,都是由简单的典型问题变式、组合而成,只要认真分析,耐心细致的寻找,找到一个合适的突破口,问题就变得简单了。命题人总是想方设法把问题的入口隐藏起来,目的就是考察学生的分析能力,中考命题规定有区分度的试题必须原创,也就是说不能在公开发行的参考资料上找到一模一样的原题,必须经过较大幅度的改编,改得面目全非,即使原题做过也认不出来,学生的经验值总被主动清零。也就是说光知道听讲,不知道思考是没有好的学习效果的。
    三、教师对一些常见的典型的几何图形挖掘不够,以此为基础对学生进行的变式训练也不够,这些基本图形在学生头脑中没有留下深刻印象,见到时不能引起连锁反应,一个环节断裂,整个思路前功尽弃。建议数学教师学会使用《几何画板》软件辅助几何教学,很多动态的、抽象的、繁杂的图形能够精确地反应出来,有利于在一个较复杂的变化过程中发现变与不变的规律。要给学生多积累,多看变式,鼓励学生自己变式、改编习题,你知道它是怎么变来的,还怕不知道怎么解吗?。教师要多给学生展示自己解决难点问题的经历,让学生知道老师不是神仙,生来什么都会,在求知的道路上人人平等。
    四、教师没有给学生足够的时间让他们尝试,讲授过多,生怕自己哪里没讲学生就不应该会,学生像鸭子填食一样整天只知道听、记,缺少自己动手、动脑、动口的机会,缺少摸索、挫折、反思、改进、突破、解决问题的经历,当然缺少难点问题的处置经验。学生总问问题是好事,教师也要鼓励学生要经过充分的探索无果后再寻求老师的帮助,指点迷津,而不是要求老师面面俱到,详细解答每个步骤。我给学生辅导总是先问你哪里不会?遇到什么困难?你现在知道什么?,然后我再问他你哪个条件没用上?,这个条件有什么用?,你要得的结论可能需要什么条件支持?,找到学生思维的障碍点之后我再告诉他,你向这个方向探索尝试一下看能不能有新发现?,一会儿再回来告诉我!,往往过一会那个学生兴冲冲地跑回来说:“老师,我想出来了,你不用再给我讲了!”。所以,学生最欠缺的不是老师给他讲多少,而是他自己做会多少、想明白多少。数学是最客观的学科,不受任何政治倾向、感情色彩的影响,它对人是最公平的,人必须尊重科学规律,按规律办事,否则无法掌握它,让它为人服务。数学成绩从一个侧面反映了一个人面对问题的主观态度、责任心、意志力、思维逻辑、行为习惯。
    五、我们在批卷过程中发现,一些能力强的学生分析问题的角度不恰当,导致难度放大数倍,消耗掉大量宝贵时间,得不偿失。
    比如一名优生写了如下解法:过O作EF∥AB,知四边形ABFE是等腰梯形,EF上方的三个三角形彼此相似,构成“M”型相似的典型图,由对应边关系可得O是EF中点,然后易得OA=OB。
    

    

    还有这样一种匪夷所思的解法:
    延长AD、BC交于E,经过较复杂运算可知四边形DOCF四点共圆(超出要求,可以转化为两次三角形相似),可得OD=OF,再得OA=OB
     这两种解法的产生有较大的偶然性,不能说舍近求远,应该说在考场中这个学生缺少对几种可能思路难度的判断而选择了这个探索方向,经历了艰苦的探索过程,最终获得了解决,这么难的题做出来了,学生一定非常激动,觉得自己很了不起。作为教师我很赞赏这两个学生的探究精神,不轻易放弃坚持到底。但在考场中,这两个学生没有对整张考卷的难点分布做出一个较准确的判断,对该题解决所需时间没有准确估计,时间分配不合理,不能在有限时间内获得最大效益。应该把自己不熟悉的、困难的、不确定的题目留到最后。
    再看另一题:
    如图,在平面直角坐标系xOy中,△ABC的顶点A在y轴上,BC边与x轴重合,过点C作AB的垂线分别交AB和y轴于点D、H,AB=HC,线段OB、OC(OB<OC)的长是方程x2-6x+8=0的根。
    (1) 求△ABC的面积
    (2) 求直线CD的解析式
    (3) 点P是线段BC上的一点,点Q是线段OA上的一点,BP=2OQ,直线PQ与直线AB相交于点E,是否存在点P,使tan∠AEP= ,若存在,直接写出点P坐标;若不存在,请说明理由。

    
               
    分析:解决(1)、(2)困难不大,只要看到△ABO与△CHO全等,知道B(-2,0), C(4,0),  A(0,4),  H(0,2)等就能解决了。
    (3)问有很大难度,多数学生简单尝试一下就放弃了,这个策略是对的,对一般学生来讲遇到不熟悉的题目成功率不高,即使耗费很多时间做对了也不划算,一样的时间可以把基础题校对准确,确保得分。但对于优等生来说却是志在必得,不会主动放弃超越的机会。
    此问题的第一个难点是确定动点P和Q的位置,需要综合BP=2OQ 和tan∠AEP= 的条件;第二个难点是计算P点的坐标,根据三角函数定义需要作垂线,问题是垂线作到哪个位置有效,很多学生这一步没有成功。经过探索,这条垂线就是CD,DH:DE=1:3,根据多个自身比例为1:2: 的相似的直角三角形的边长计算可知AD:DC=1:3,△EDM∽△CDA,EN⊥AC,△OPQ为等腰直角三角形,OP=OQ,可计算出P(- ,0);第三个难点是计算第二个点P的坐标,当点E位于上方时,虽然还保持△EDM∽△CDA,但EN与AC不垂直,∠ACB=45°不再可用,说明前面方法属特殊位置的巧合,不具一般性。再认真观察,解题关键是找到OP与OQ的比例关系,由此想到过E作EF垂直于y轴,需求EF与FQ的比值,那么再过Q作QG垂直于AB,反复利用1:2: 的比例关系计算可知OQ=7OP,进而求得点P的坐标。回到第一种情况验证,这个思路仍然有效,具有一般性。
                                  

    反思几点:
    一、中考卷26题、28题第三问难度较大,让人望而生畏,很多人丧失了尝试的勇气和信心。但困难是相对的,恐吓弱者,它考验的就是人的智慧、信心和耐力,只有那些知识储备丰富,头脑灵活,勇于探索,坚持不懈,作风顽强的人才有较大希望冲到终点,摘取数学王冠上的明珠。教师是将军,学生是士兵,如果教师把畏难情绪传染给学生,那结果将是灾难性的,将军要运筹帷幄,胸有成竹,士兵要冲锋陷阵,无所畏惧。
    二、教师要加强研究,把自己看做一名考生,和学生一起探索,共同成长。还要善于归纳和总结,每类习题都有它一般性的解决策略和特殊的技巧,经过认真研究并不难掌握,考题变化再大都是形式上的,本质上都离不开典型问题,只要细心观察,抓住其典型特征,再充分联想,任何难题都会迎刃而解,不堪一击。
    

     

     

     

     

     

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